Логическое строение геометрии. аксиоматический метод
Логическую строение геометрии нужно рассматривать вместе с аксиоматичным методом. Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.
Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путем, опираясь на них.
Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.
Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже приходилось, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказуемости утверждений и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.
Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путем. В этом и заключается логическая строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.
Потому что нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии.
Таким образом, при аксиоматической построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, обладающие свойствами, указанными в аксиомах.
После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту.
Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".
Затем, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" состоялся термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что произведения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих произведения по "Началах" Евклида. В «Началах» есть разделы, логично очень мало связаны с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.
"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1-6 книги посвящены планиметрии, 7-10 книги - об арифметике и несоизмеримые величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 посвящены стереометрии.
"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвертый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из других аксиом. Последний, пятый постулат говорил: "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".
Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объемов: "равные том же равны между собой", "если к равным прибавить уровне, суммы равны между собой", "если от равных отнять уровне, остатки равны между собой "," те совмещающие друг с другом равны между собой "," целое больше части ".
Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трем причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему: "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не больше одной прямой, не пересекающей данную прямую".
Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятый постулат привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменен противоположным утверждением: "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.
Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882
На евклидовой плоскости проведем горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидову движение является композицией конечного числа инверсий с центром в абсолюте и осевых симметриях, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.
Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой следующее: "Неевклидова прямая - это полукруг с концами на абсолюте луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежит на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A.
По геометрии Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трехмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, только в чем-то подобных со своей прародительницей - геометрией Евклида.
Название реферата: Логическое строение геометрии. аксиоматический метод
Раздел: Математика
Опубликовано: 2012-09-11 11:55:11
Прочитано: 445 раз
скачать реферат 
